Realobligationens plats i långsiktiga investeringsstrategier
Björn Hansson och Mattias Persson
Nationalekonomiska institutionen vid Lunds Universitet Oktober 1997
A. Översikt 4
1. 1919-1996 8
a) ”Mean-variance” 8
b) ”Mean-LPM” 11
2. 1945-1996 13
a) ”Mean-variance” 13
b) ”Mean-LPM” 16
3. Sammanfattning 18
V. Slutsats 18
VI. Appendix - ”Lower partial moment” 20
VII. Appendix - ”Bootstrapping” 21
Introduktionen av realobligationer har i ett slag ändrad grunderna för portföljvalet bland svenska tillgångar. Det finns numera en tillgång som har en absolut säker realavkastning och tillgångar som är nominellt säkra behöver inte länge tjäna som jämförelsenorm vid portföljutvärderingar eller som grundstenar i varje investeringsstrategi. I föreliggande rapport analyseras hur optimalt portföljval över långa investeringshorisonter, från fem till tjugo år, påverkas av att placerarna får tillgång till realobligationer.
Den traditionella ansatsen för sådana analyser bygger på att avkastning och risk beräknas med hjälp av historiska data. Därefter analyseras hur tillgångar bör kombineras för att nå högsta möjliga avkastning för varje tänkbar risknivå (respektive lägsta möjliga risk för given avkastningsnivå). Investeraren får på så sätt en meny av s.k. effektiva portföljer och kan välja tillgångar på ett sätt som överensstämmer med hans syn på avvägningen mellan förväntad avkastning och risktagande.
De ingående tillgångsslagen är aktier, obligationer, statsskuldväxlar (SSVX), fastighetsaktier (som mått på direkt innehav av fastigheter) samt realobligationer. Analysen utgår från de olika tillgångarnas realiserade månadsavkastningar under perioden 1919-1996 samt för 1945-1996. För realobligationer saknas data över avkastningen, men eftersom avkastningen i princip är konstant och förutbestämd är det ett mindre problem. Det är således möjligt att på sedvanligt sätt använda historiska observationer på avkastningen på övriga tillgångar i kombination med en antagen realränta för att studera portföljval där realobligationer ingår bland tillgångarna. Resultatens användbarhet som underlag för beslut om framtiden påverkas således inte av att realobligationer är ett nytillskott. Det avgörande i det fallet, liksom vid all analys av historiska avkastningsdata, är huruvida avkastningsmönstret för övriga tillgångar är stabilt över tiden.
Aktier representeras av Affärsvärldens Generalindex, dvs en väldiversifierad aktieportfölj, obligationer består till att börja med av en rullande konsol och från och med 1951 av en rullande obligation med ungefär 10 års löptid, korta räntan är diskontot fram till införandet av SSVX, fastighetsindex är konstruerat från fastighetsaktier på A-listan.(1) Utdelningar och kuponger har återinvesterats i respektive tillgång. Med hjälp av ett konsumentprisindex har samtliga serier rensats för inflation.(2)
Denna metod är troligtvis orättvis mot den långa obligationen. Den representeras av en rullande strategi med approximativt samma löptid, men i en jämförelse med de andra tillgångarna skulle vi helst ha haft tillgång till ”yield to maturity”, dvs avkastningen fram till förfallotidpunkten på en given obligation, och sedan antagit att obligationen hålles löptiden ut, vilket skulle motsvara en nominellt sett riskfri strategi.(3) För realobligationen saknas givetvis helt historiska avkastningsserier och därför ansätts ”yield to maturity” till 4%, vilket ungefär motsvarar aktuell räntenivå på svenska realobligationer.(4)
Vi vet att måttet på avkastningen på fastighetsaktier är något speciellt: bland annat domineras den helt av Hufvudstaden fram till 1965 och därefter utgör detta bolag tillsammans med SKANSKA, som inte kunnats rensats för entreprenaddelen, ofta 75% av fastighetsportföljens värde. Fastighetsaktiernas goda utveckling beror eventuellt till största delen på att de varit högre belånade än börsens genomsnitt, vilket medför att 70-talets höga och till viss del oförväntade inflationen gynnat dessa företag i mycket hög grad. Dessutom är det troligt att deras låneräntor till viss del varit subventionerade. Trots alla dessa invändningar är det intressant att använda fastighetsaktierna som ett mått på avkastningen på direkt ägande av fastigheter.
Analysen utgår från förväntad realavkastning och risk, dvs spridningen i avkastningen. Den reala analysen är att föredra emedan en nominell analys förutsätter någon form av ”penningillusion”, dvs oförmåga hos investerarna att beakta effekterna av inflation. Dessutom skulle en nominell analys innebära att realobligationen betraktas som mera riskfylld än en vanlig nominell obligation emedan realobligationens nominella slutvärde kan variera. Denna variation, som beror på att investeraren får automatisk kompensation för inflationen, betraktas således som en risk. Det betyder att om de två tillgångsslagen är helt lika vad det gäller löptid och ”yield to maturity” så värderas den nominella obligationen högre! Detta strider mot all ekonomisk intuition och visar tydligt faran av att utgå från nominell avkastning.
Det första metoden för att analysera data utgår från beräknade historiska avkastningar över olika investeringshorisonter. Eftersom ursprungsdata består av månadsobservationer, kommer de beräknade avkastningarna att avse överlappande investeringshorisonter. För de olika investeringshorisonter beräknas t ex hur ofta som realobligationen givit bättre avkastning än aktieportföljen.(5)
Ett problem med data av det föreliggande slaget är att det endast finns ett fåtal oberoende investeringshorisonter; t ex finns det enbart tre tjugoåriga investeringshorisonter som är icke överlappande. Detta innebär att det är svårt eller omöjligt att studera hela fördelningen eller att ens få ett någorlunda tillförlitlig skattning av risknivån. Det betyder att underlaget för en traditionell portföljvalsanalys kan vara otillförlitligt i statistisk bemärkelse. Ett sätt att kringgå problemet är att utnyttja en statistisk metod kallad ”boot-strapping” (se appendix). ”Boot-strapping” bygger på att man med hjälp av slumpmässiga dragningar skaffar sig ett stort antal fingerade datauppsättningar ur den ursprungliga datamängden. Vid denna simulering är grundsamplet de överlappande investeringshorisonterna; på detta sätt bibehålls alla eventuella tidsseriegenskaper som finns inom horisonterna. Det är t ex känt att realavkastningen för aktier visar ”mean reversion”, dvs avkastningen tenderar på några års sikt att återvända till medelvärdet. Detta innebär att en aktieportföljs risk för en långsiktig strategi kan minska relativt andra tillgångar, t ex realobligationer vars avkastning är konstant över tiden.
Därefter är det möjligt att i sedvanlig ordning konstruera effektiva fronter, dvs. kombinationer av tillgångar som ger högsta möjliga avkastning för en given risknivå (eller, sett från det omvända perspektivet, lägsta möjliga risk för en viss nivå på den förväntade avkastningen). Beräkningarna görs genomgående med en blankningsrestriktion, dvs det är inte möjligt att sälja någon tillgång kort. Effektiva fronten bygger på ”mean-variance”-kriteriet, dvs förväntad avkastning värderas positivt medan varians värderas negativt. Detta innebär att variansen är måttet på risk; en nackdel med detta mått är att det är symmetriskt och således betraktas både negativa som positiva avvikelser från medelvärdet som något negativt. Men för de flesta placerare är det naturligare att endast betrakta de negativa avvikelserna som risk. Ett sätt att mäta risken som beaktar detta kallas ”lower partial moment” (LPM). I detta fall är utgångspunkten att avkastningar under realobligationens avkastning definieras som riskfyllda (se appendix). På grundval av detta riskmått konstrueras en ny uppsättning effektiva fronter.
Från de effektiva fronterna går det att ta fram information som visar hur portföljvikterna varierar med olika nivåer på avkastningen respektive risken. Varje investerare kan således välja investeringshorisont samt avkastningskrav och sedan visar effektiva fronten vilka vikter som generar denna förväntade avkastning till lägsta risk mätt antingen som varians eller som LPM.
Först följer den analys som enbart utnyttjar observerade avkastningar med överlappande investeringshorisonter. Därefter kommer analysen som bygger på att förväntad avkastning och de olika riskmåtten, varians respektive LPM , har estimerats från det sampel som simulerats via boot-strapping.
För att ge en känsla för datamaterialet redovisas i Figur 1 och 2 rullande 10-årsavkastningar för de olika tillgångarna, dels för hela perioden, dels för perioden efter 1945. I det långa perspektivet i Figur 1 visas att 1980-talet var ett alldeles exceptionellt årtionde för aktieportföljen. Det framgår också tydligt att den inledande perioden var mycket turbulent och under denna period klarade sig de båda räntebärande tillgångarna väl jämfört med aktierna. Under en lång period, från början av 1930-talet till slutet av 1970-talet ligger avkastningen på nominella tillgångar lågt. Det avspeglar effekterna av dels oförväntad inflation, dels kreditmarknadsregleringarna under tiden från andra världskriget. Eftersom kreditmarknaden är avreglerad är sannolikt dessa observationer inte representativa för framtida avkastningsmönster. Det är rimligt att anta att räntebärande tillgångar i en oreglerad miljö kommer att ge kompensation för förväntad inflation och inflationsrisken. En indikation på detta är den höga observerade avkastningen på nominella tillgångar under den avslutande perioden, som dock även påverkas av att inflationen blivit lägre än förväntat.
En annan sida av inflationsprocessens och ränteregleringens effekter visas av fastighetsportföljens utveckling i Figur 2: 1970-talets inflationsår och artificiellt låga räntor gav en mycket god utdelning även i en jämförelse med aktierna. (6)
Vi studerar först hela perioden 1919-96. I Tabell 1 visas att genomsnittsavkastningen för de olika tillgångarna är i stort sett lika över investeringshorisonterna. Det intressanta är emellertid att se hur skillnaden mellan maximala och minimala avkastningen minskar över investeringshorisonterna, vilket kan tolkas som ett uttryck för att ”risken” kan minska med horisontens längd. Tabellen visar också sannolikheten för att realobligationen är bättre än aktier och fastigheter.
Figur 1: 10-årig placeringshorisont 1919-1996
Figur 2: 10-årig placeringshorisont 1945-1996
Det framgår tydligt att sannolikheten för att realobligationen skall vara bättre än aktierna minskar med investeringshorisonten. För en investeringshorisont på tio år är dock sannolikheten ändå 29.4% att en realobligation på 4% skall vara bättre än aktiestrategin. I Figur 3 visas samma sannolikhet för investeringshorisonter från ett år upp till 25 år: sannolikheten att realobligationen skall vara bättre än aktierna faller ungefär med en procentenhet när horisonten ökar med ett år. Detta är ett uttryck för den tendens till ”mean reversion” i aktieavkastningar som vi noterade inledningsvis och som gör att aktier framstår som mindre riskfyllda relativt sett ju längre placeringshorisonten är.
För perioden 1945-1996 har vi också inkluderat fastighetsaktier. Tabell 1 visar att förhållandet mellan aktier och realobligationen är ungefär detsamma för denna delperiod som för hela perioden. Fastigheter har haft en mycket hög genomsnittlig avkastning men som redan nämnts ovan kan det finnas invändningar mot denna serie. Trots detta är sannolikheten 22.2% att realobligationen skall vara bättre än fastigheterna på en 10-års horisont (jmf Tabell 3). För en horisont på 20 år är däremot sannolikheten endast 3%, vilket beror på att de mycket dåliga åren i början på 1990-talet utjämnas av de föregående årens extremt goda resultat. Från Figur 3 framgår att sannolikheterna för att realobligationen skall vara bättre än aktierna är mycket lika för de två perioderna.
Sammanfattningsvis visar en analys av historiska data att även för långa investeringshorisonter klarar sig realobligationen bra i konkurrens med aktier. Konkurrensen mot fastigheter kan över långa investeringshorisonter verka betydligt hårdare, men detta resultat är också något skakigare på grund av sämre data. Detsamma gäller jämförelsen med nominella obligationer i så måtto att avkastningen under stora delar av perioden varit styrda av regleringar snarare än placerares avkastningskrav som de kommer till uttryck på marknaden.
S anger aktie, Bo anger Obligation, Bi anger SSVX, RB anger Realobligation och P anger fastighet. S-AVG anger aktiens medelavkastning under respektive period och under given placeringshorisont. Max anger det största värdet för tillgången under perioden, och Min anger det lägsta värdet som tillgången antagit under perioden. RB>S anger sannolikheten att realobligationen ger högre avkastning än aktier. Alla siffror i procent och på årsbasis.
Figur 3: Sannolikhet att Realobligationen ger högre avkastning än Aktier
Effektiva fronter konstrueras efter ”mean-variance”-kriteriet respektive ”mean-LPM”-kriteriet från data som konstruerats med hjälp av bootstrapping.
Vi analyserar först resultaten från ”mean-variance”-analysen. Ett generellt resultat är att endast aktier och realobligation ingår i de effektiva portföljerna, dvs SSVX och obligationer kommer aldrig med. En förklaring till detta torde, som nämnts, vara att avkastningen på nominella tillgångar varit artificiellt låg och därmed inte kompenserat för den risk som beror på osäkerhet om inflationen.
Figur 4 visar effektiva fronten för olika investeringshorisonter och en avkastning på realobligationen på 4%. Den effektiva fronten är alltid en rät linje emedan endast den riskfria realobligationen och aktien ingår. Det framgår tydligt i Figur 4 att den längre horisonten har ett betydligt högre Sharpe-mått(7) än den kortare horisonten: 0.93 respektive 0.33. I Figur 5 visas hur standardavvikelsen för olika horisonter förändras med vikterna. En likaviktad portföljs risk minskar när horisonten ökar emedan den riskbärande aktien blir allt mindre riskfylld: t ex halveras nästan risken när horisonten ökar från fem till tio år - från 4.13 till 2.48.
Figur 4: Mean-Variance fronter för olika placeringshorisonter 1919-1996
Siffrorna ovan anger (Standardavvikelse, Förväntad avkastning). För en 5-årig placerings-horisont anger således 8.25 aktiernas standardavvikelse och 6.80 deras förväntade avkastning.
Figur 5: Viktandel Realobligation för olika risknivåer 1919-1996
Siffrorna i figuren ovan anger en likaviktad portföljs risk, standardavvikelse, för olika placeringshorisonter. En likavikatad portfölj med en placeringshorisont på 5 år har en standardavvikesle på 4.13 % per år.
Figur 6 visar hur vikterna varierar med den förväntade avkastningsnivån. För en avkastningsnivå på 5% kommer vikten för realobligationen att ligga kring 0.60 för alla horisonter. Detta betyder att realobligationen kommer att ingå också i långsiktiga portföljer och att den alltså erbjuder en god diversifieringsmöjlighet. Vikterna varierar inte speciellt mycket över horisonterna emedan de effektiva fronterna alltid består av endast två tillgångar och att genomsnittsavkastningen för aktier påverkas inte nämnvärt av horisontens längd. Precis samma resultat gäller vid användningen av lägre partial momentet, vilket beror på att endast två tillgångar tillhör effektiva fronten och en viss avkastningsnivå kan därför endast uppnås via en unik portföljkombination.
Figur 6: Viktandel Realobligationen för olika nivåer på förväntad avkastning 1919-1996
Siffrorna ovan anger viktandel för realobligationen vid en given nivå på den förväntade avkastningen. (0.29, 6.00) anger realobligationens viktandel till 29% vid en förväntad avkastning på 6 %.
LPM ligger till grund för de effektiva fronterna i Figur 7. Riskreduktionen för den längsta horisonten jämfört med den kortaste är nu ännu större än för ”mean-variance”-fronterna: Sharpe-måttet ökar från 0.7 till 3.6. Vikterna för de olika horisonterna i Figur 8 visar att den likaviktade femårsportföljen har betydligt större risk än de längre portföljerna. Denna figur tillsammans med Figur 4 visar att tidsdiversifieringen, dvs effekten av en längre tidshorisont, är proportionellt större vid användningen av LPM jämfört med varians som riskmått, vilket också tyder på att asymmetrin i avkastningarna varierar över tiden.
Figur 7: Mean-Lower Partial Moment fronter för olika placeringhorisonter 1919-1996
Siffrorna ovan anger (Normaliserad LPM, Förväntad avkastning). För en femårig placeringshorisont anger 3.81 aktiernas normaliserade LPM och 6.80 deras förväntade avkastning.
Figur 8: Viktandel Realobligation för olika risknivåer 1919-1996
Siffrorna i figuren ovan anger en likaviktad portföljs risk, normaliserad LPM, för olika placeringshorisonter. En likaviktad portfölj med en placeringshorisont på 5 år har en normaliserad LPM på 1.91 % per år.
Den effektiva fronten i Figur 9 innehåller endast tre tillgångar: aktier, realobligationer och fastigheter medan de två övriga tillgångarna, SSVX och den nominella obligationen, aldrig kommer med. Den effektiva fronten är en kurva för höga nivåer på den förväntad avkastningen och består då endast av fastigheter och aktier, men fronten är en rät linje när realobligation får en positiv vikt.
I Figur 9 är utmärkt att realobligationen får en positiv vikt vid en förväntad avkastning på 8.21% för femårshorisonten och kring 9% för de andra horisonterna. Även vid höga krav på förväntad avkastning har således realobligationen en funktion att fylla i en effektiv portfölj. För de olika horisonterna får realobligationen en positiv vikt vid följande nivåer på den förväntad avkastningen och risken samt med följande portföljvikter för fastigheter respektive aktier: fem år - förväntad avkastning 8.21%, standard avvikelse 6.90%, portföljvikter [0.38;0.62]; tio år - 8.80%, 4.78%, [0.42;0.58]; femton år - 9.09%, 3.42%, [0.51;0.49]; tjugo år - 8.80%, 2.33%, [0.52;0.48]. Fastigheters portföljvikt ökar således med placeringshorisonten.
När den effektiva fronten är en rät linje varierar realobligations andel linjärt med förväntad avkastningen och proportionen mellan vikterna för två andra tillgångarna är hela tiden desamma, dvs den riskbärande delen av portföljen behandlas som en ”tillgång” eller sub-portfölj. För femårshorisonten gäller exempelvis att proportionen mellan andelen fastigheter och aktier är konstant och lika med 0.38/0.62, men de riskbärande tillgångarnas absoluta andelar minskar givetvis hela tiden när avkastningskravet rör sig nedåt från 8.21% och är till slut noll vid realobligationens avkastning på 4%. Detta resultat framgår också i Figur 10: för avkastningsnivåer där realobligationen har en positiv vikt varierar vikterna längs räta linjer när avkastningen sjunker. Realobligationen utgör cirka 40% av portföljerna redan vid en förväntad avkastning på 7%.
Figur 9: Mean-Variance fronter för olika placeringshorisonter 1945-1996
De översta siffrorna anger risk och förväntad avkastning för fastigheter, det andra paret siffror anger vid vilken risknivå samt förväntad avkastning som realobligationen har en andel större än noll. För en 5-årig placering så har fastigheter en förväntad avkastning på 9.17 % och en standardavvikelse på 12.64 % per år. För denna placeringshorisont kommer realobligationen in vid en förväntad avkastning på 8.21%.
Återigen gäller att för den linjära delen av effektiva fronten är Sharpe-måttet högre för de längre horisonterna - lutningen ökar från 0.61 till 2.06 - vilket är en proportionellt sett något större ökning än för hela perioden. Jämfört med den långa perioden är Sharpe-måttet absolut sett betydligt högre för efterkrigsperioden, dvs kompensationen för att ta risk har varit högre, vilket beror på att den stora uppgången i aktier och fastigheter under 1980-talet påverkar resultaten i större utsträckning för denna period än för hela perioden.
I Figur 11 framgår att risken för de likaviktade portföljerna är ungefär samma som för hela perioden, jämför Figur 5, sånär som på att femårsportföljen har mindre risk för den kortare perioden.
Figur 10: Viktandel Realobligation för olika nivåer på förväntad avkastning
Siffrorna ovan anger (vikt realobligation, förväntad avkastning). Vilket innebär att för en förväntad avkastning på 7 % och en placeringshorisont på 5 år så skall 29 % investeras i realobligationen för mean-variance ansatsen. I LPM skall för samma placeringshorisont och avkastningsnivå 25 % investeras i realobligationen.
Figur 11: Viktandel Realobligation för olika risknivåer 1945-1996
Siffrorna i figuren ovan anger en likaviktad portföljs risk, standardavvikelse, för olika placeringshorisonter. En likaviktad portfölj med en placeringshorisont på 5 år har en standardavviklese på 3.45 % per år.
I Figur 12 framgår att riskreduktionen med LPM som riskmått är oerhört stor vid övergången till den tjugoåriga investeringshorisonten, vilket beror på att den riskbärande portföljen nästan aldrig faller under den riskfria avkastningen på 4%, dvs den är i stort sett riskfri när risken mäts med LPM. Detta exemplifierar väl fördelen med LPM som inte tar hänsyn till de tjugoåriga avkastningsseriernas stora positiva asymmetri, vilket däremot har stor betydelse när risken mäts med variansen. Den stora riskreduktion framgår också av ”Sharpe-måttet” som ökar från 0.8 till extrema 86.6. Denna enorma riskreduktion kan knappast betraktas som en god indikator för framtiden.
Även den effektiva front som grundas på LPM är en rät linje när realobligationen antar positiva vikter. För de olika horisonterna får realobligationen en positiv vikt vid följande nivåer på den förväntad avkastningen och risken samt med följande portföljvikter för fastigheter respektive aktier: fem år - 8.14%, 2.42%, [0.25;0.75]; tio år - 8.58%, 1.11%, [0.34;0.66]; femton år -8.86%, 0.54%, [0.45;0.55]; tjugo år - 10.41%, 0.07%, [0.88;0.12]. Intressant är att för tjugoårshorisonten dyker realobligationen redan upp vid ett avkastningskrav på 10.41%. Vikterna i den riskbärande sub-portföljen avviker något från ”mean-variance” portföljerna: fastigheternas betydelse växer alltid med investeringshorisontens längd.
Riskerna för de likaviktade portföljerna, Figur 13, är klart mindre för perioden 1945-1996 jämfört med 1919-1996. Detta gäller i synnerhet för tjugoårs-portföljen. Figur 10 visar att för ett avkastningskrav på 7% så varierar vikten för realobligationen från 53% för tjugoårs-horisonten till 25% för femårs-horisonten.
Figur 12:Mean-Lower Partial Moment fronter för olika placeringshorisonter 1945-1996
De översta siffrorna anger risk och förväntad avkastning på fastigheter, det andra paret siffror anger vid vilken risknivå samt förväntad avkastning som realobligationen har en andel större än noll. För en 5-årig placering så har fastigheter en förväntad avkastning på 9.17 % och en normaliserad LPM på 6.25 % per år. För denna placeringshorisont kommer realobligationen in vid en förväntad avkastning på 8.14%.
Figur 13: Viktandel Realobligation för olika risknivåer 1945-1996
Siffrorna i figuren ovan anger en likaviktad portföljs risk, normaliserad LPM, för olika placeringshorisonter. En likaviktad portfölj med en placeringshorisont på 5 år har en normaliserad LPM på 1.21 % per år.
Tidsdiversifieringen, dvs effekten av förlängning av placeringshorisonten, har stor betydelse och den är speciellt tydlig när investeringshorisonten ökar från fem till tio år. När risken mäts med LPM har tjugoårs-horisonten en synnerligen låg risk. Realobligationen ingår i portföljer med såväl hög förväntad avkastning som långa investeringshorisonter. Den är speciellt viktig om en investerare vill ha en låg risknivå och har en relativt kort investeringshorisont.
Vår undersökning visar att realobligation har stor potentiell betydelse för en investerare som vill minska sin risk och vars investeringshorisont är under tio år. Även för de långa horisonterna på femton och tjugo år kommer realobligation in på höga nivåer för avkastningskravet. Undersökningen visar också att det har funnits stora möjligheter till tidsdiversifiering på den svenska tillgångsmarknaden. Investerare som kan se på placeringar i ett långsiktigt perspektiv kan således få högre avkastning utan att i motsvarande omfattning ta större risker.
Resultaten pekar således på att introduktionen av realobligationer ger placerare möjlighet att uppnå en mer förmånlig relation mellan avkastning och risk än tidigare. Icke obetydliga andelar av väl sammansatta portföljer bör bestå av realobligationer. Som kvalitativ slutsats är detta sannolikt robust. Detsamma gäller slutsatsen om tidsdiversifiering.
Samtidigt bör de kvantitativa resultaten tolkas med försiktighet. En central fråga i varje studie av detta slag är i vad mån historiska avkastningsmönster kommer att upprepas. Att nominella obligationer och statsskuldväxlar inte alls ingår i effektiva portföljer är en indikation på att data präglas av förhållanden som inte längre är giltiga. Resultatet torde i hög grad bero på att de nominella räntorna varit reglerade under en betydande del av perioden. Placerarnas inflationsförväntningar och krav på inflationsriskpremie har således inte kommit till uttryck i räntorna. På en marknad med fri räntebildning är det rimligt att förutsätta att nominella obligationer ger en sådan avkastning att de ingår i effektiva portföljer. Det betyder att den förväntade realavkastningen på nominella obligationer bör ligga något över räntan på realobligationer. I vad mån nominella tillgångar prissatta på detta sätt skulle minska andelen realobligationer eller andelen aktier (eller båda) i effektiva portföljer är svårare att säga. Det beror bl.a. på att samma faktorer som hållit nere avkastningen på nominella obligationer sannolikt bidragit till att höja avkastningen på aktier och, i än högre grad, fastigheter.
Sammanfattningsvis bör de siffermässiga resultaten således betraktas som illustrativa snarare än definitiva. De visar ändå på de potentiella effekterna på portföljvalsbeslut av att realobligationer, en i bokstavlig bemärkelse riskfri tillgång, tillkommit.
Appendix - ”Lower partial moment”
Centralt inom modern portföljvalsteori är möjligheten till riskreduktion genom diversifiering. Det har, och är fortfarande, inte klart vilket riskmått som bör användas för att mäta risken i investeringar. Det idag dominerande riskmåttet, varians, innebär att positiva och negativa avvikelser från medelvärdet påverkar risken i investeringen lika mycket. Om en investering har ett förväntat värde på fem procent, då tillför en avkastning på +15 procent lika mycket till risken som en negativ på minus fem procent. Detta innebär således att varians är ett asymmetriskt riskmått. Ett asymmetriskt riskmått föreslogs redan av nobelpristagare Harry Markowitz 1959, men beroende på beräkningssvårigheter så förordade han varians som riskmått, även om han ansåg att det asymmetriska riskmåttet var mest tilltalande. Mean-lower partial moment (MLPM) är ett "downside" risk närmande till portföljval. I denna ansats ses endast avkastningar under en, av investeraren bestämd, målavkastning som riskfyllda. Detta innebär att MLPM är ett asymmetrisk risk mått.
Riskmåttet LPM innehåller flera riskmått beroende på vilken ordning som används, i denna underökning används LPM av andra ordningen. Andra ordningen innebär att avkastningar under realobligationens avkastning ses som riskfyllda och differensen kvadreras. Som ett special fall så innehåller MLPM också MV, om tillgångarnas avkastning är normalfördelad så ger MLPM samma resultat som MV. Detta är en ytterligare styrka i MLPM ansatsen, inte endast är det en mer intuitiv ansats, utan den reduceras också till mer välkända MV om antaganden i denna modell är uppfyllda .
Figur 1 visar hur LPM bedömer avkastningar som riskfyllda eller ej, endast den streckade delen används i riskmåttet. Tolkningen av LPM av andra ordningen är samma som varians, med den skillnaden att LPM avser avvikelser från målavkastningen. Detta innebär att tolkningen av den normaliserade LPM motsvarar standard avvikelsen (8).
Figur A1: Lower Partial Moment, avkastningar under t anses som riskfyllda.
Det bör också betonas att om tillgångarnas sannolikhetsfördelning är symmetriskt så ger MLPM precis samma rangordning av tillgångarna som MV. Empiriska tester av finansiella tillgångars sannolikhetsfördelning visar dock på att sannolikhetsfördelningarna inte är symmetriska.
VII. Appendix - ”Bootstrapping”
”Boot-strapping” är en modern generell metod som möjliggör att få en skattning av en eller flera parametrar. Metoden innebär att man inte behöver göra några antagande om datamaterialets eller variablernas sannolikhetsfördelning. ”boot-strapping” bygger på att man skaffar sig ett stort antal fingerade datauppsättningar ur den ursprungliga datamängden. Dessa upprepade datagenereringar och därpå följande skattningar kräver ofta omfattande beräkningar som blivit möjliga att utföra först med utvecklingen av datorn. Karaktäristiskt är alltså att man inte behöver fundera på olika parameters statistiska fördelningar och deras egenskaper.
”Boot-strapping” innebär att man från en datamängd y med n observationer skapar en uppsättning nya datamängder y '. Dessa skapas genom att man drar från de n observationerna i datamängden y med återläggning, där varje observation har lika stor sannolikhet för att bli dragen. Den parameter eller variabler som man är intresserad av beräknas sedan från varje datamängd y'. Genom ”boot-strapping” har man nu en uppsättning parameterskattningar.
Enkel ”boot-strapping” kräver att observationerna i en serie skall vara oberoende. Finansiell data uppfyller vanligtvis inte detta, därför använder vi en vidareutveckling av ”boot-strapping”. Den metod vi använder är ”boot-strapping” med överliggande block. Metoden innebär att man delar in den ursprungliga datamängden y i överliggande block av observationer. Varje block har en längd l och b stycken block dras med återläggning så att lb=n. Totalt finns det n-l+1 block. Antag att n = 6 och l = 3 och att y = {0.2, 0.1, 0.4, 0.7, 0.9, 0.3}. Blocken blir då: {(0.2, 0.1, 0.4), (0.1, 0.4, 0.7), (0.4,0.7, 0.9), (0.7, 0.9, 0.3)}. Från dessa fyra block dras sedan ett sampel av två block med återläggning.
(1) Den fullständiga dokumentationen finns i Frennberg och Hansson: ”Computation of a monthly index for Swedish stock returns: 1919-1989”,The Scandinavian Economic History Review, XL:1, 1992. Fastighetsindexet är uppbyggt av Andreas Graflund: ”Konstruktion och analys av bygg- och fastighetsindex”, Kandidatuppsats, Nationalekonomiska institutionen vid Lunds Universitet, Juni 1996.
(2) Konstruktionen av prisindex beskrivs i Frennberg och Hansson (1992).
(3) I strikt mening gäller detta endast för en nollkupongare.
(4) Vi har studerat effekterna av olika nivåer i intervallet 3-5% och resultatet är givetvis att realobligationens portföljvikt ökar med avkastningen: för en investeringshorisont på fem år så ökar andelen med cirka 5% vid en ökning i avkastningen med 1% och för längre horisonter är effekten ännu större.
(5) Samma typ av analys har tidigare utförts av Per Frennberg och Björn Hansson i artikeln ”Bör pensionssparande ske i aktier?” (Ekonomisk Debatt 1991, No.3).
(6) En noggrannare studie av fastighetsportföljens utveckling visar att realvärdet var i stort sett konstant från 1945 fram till 1950-talets slut.
(7) Sharpe-måttet definieras som lutningen på fronten och mäter således hur mycket avkastningen ökar per enhet ökad risk. Ju högre Sharpe-värde, desto större kompensation får således investeraren för att ta risk.
(8) Definition av där t är target och R är avkastningen.